正交变换具有哪些特点

1. 正交变换具有哪些特点

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。[1]
因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。
在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）[2]。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。
正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。

2. 在利用正交变换求标准二次型时，有以下问题

掌握正交变换化二次型为标准形的方法，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵就是经过改造的二次型矩阵的特征向量。
具体步骤如下：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，，αn）
4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，γ2，，γn
5、构造正交矩阵P=（γ1，γ2，，γn）
则经过坐标变换x=Py，得
f=xTAx=yTBy=λ1y12+λ2y22++λnyn2

注意：特征值λ1，λ2，的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量γ1，γ2，的顺序是一致的。

newmanhero         2015年6月19日16:10:11

希望对你有所帮助，。

3. 用正交变换，配方法，初等变换法化二次型为标准型时，所求的结果是一样的吗

不一样。
化二次型为标准型时，结果不唯一，但都是正确的。可以用正交变换法和配方法，初等变换是化简矩阵时运用的方法。
二次型：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
扩展资料：
在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。
在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。

4. 用正交线性替换化下列二次型为标准形，并求出所作的正交线性变换

一、解：二次型的矩阵 A=
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3
|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3
r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3
第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3
-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3
=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.
对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
(不需正交化)
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'
令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换
f = -y1^2+2y2^2+5y3^2
二、解: 二次型的矩阵 A =0 0 10 1 01 0 0|A-λE|=-λ 0 10 1-λ 01 0 -λ= -(1-λ)^2(1+λ).所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T将a1,a2,a3单位化得b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2
扩展资料：
设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
1、σ是正交变换；
2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
3、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基；
4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
参考资料来源：百度百科-正交交换

5. 正交变换的定义及证明

设M是对称矩阵， P是正交矩阵， N=P^tMP 称为 M的正交变换。 　　（正交矩阵的定义为：P.P^t = I） 　　正交变换既是相似变换，也是相合变换。正交变换不改变M的特征值。 　　正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换. 　　所谓正交是指【X ，Y】=0 其中X，Y均为向量；而正交矩阵是指：矩阵A具有如A^tA=E（其中E为单位矩阵）性质，则称A为正交矩阵。所以矩阵的正交变换既是指：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。 　　欧几里得空间内正交变换的定义：设V为欧式空间，σ是V上的线性变换，若对于任何α∈V，都有▏σ（α）▏=▏α ▏，则称σ是V上的正交变换。

6. 用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换。 求二次型

首先，A肯定是三阶的不用解释了。条件给了个A的迹等于-6，那就知道了三个特征值的和为-6。
思路一：可以把A设出来，再用关系式求解。这个方法很直白，肯定可以算出来。
思路二：题里给了AB=C，把B和C都拆成两个列向量。
A[1,0,-1]^T=0*[1,0,-1]^T
A[1,2,1]^T=-12*[1,2,1]^T
这么写你明白吧，就是两个特征值，一个0，一个-12，那第三个就是-6-0-(-12)=6。
有了三个特征值，而只有连个特征值对应的特征向量，那第三个肯定和前两个正交。
算一下，可以得到第三个是[1,-1,1]^T，接下来把三个向量单位化拼在一起就是正交变换用的C了。最后x=Cy。
第二题很简单，有了正交矩阵，又有对角矩阵，A=C∧C^T就好了。

7. 用正交变换把下列实二次型化成标准型，并写出所作的正交变换

解: 二次型的矩阵 A =
0  0  1
0  1  0
1  0  0
|A-λE|=
-λ  0  1
 0 1-λ 0
 1  0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3单位化得
b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵
所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2

8. 证明正交变换的逆变换是正交变换