1. 如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1垂直平面abc.ac垂直bc,ac=bc=cc1=2
如图已知在三棱柱ABC--A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;(2)求证:PC1‖面MNQ;(3)若的余弦值.证明:(1)∵AC=BC, P是AB的中点 ∴AB⊥PC∵AA1⊥面ABC,CC1‖AA1,∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面PCC1; 又∵M、N分别是AA1、BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,MN‖AB,∴MN⊥面PCC1 ∵MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ; 4分 (2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN‖PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.又∵Q是C1B1的中点∴PC1‖KQ 而KQ平面MNQ,PC1平面MNQ∴PC1‖面MNQ. 9分 (3)由不妨设以点P为坐标原点PA所在直线为x轴,平面内直线AB的垂直平分线为y轴,PC所在直线为z轴建立空间直角坐标系。则可求得各点的坐标为,.平面MNQ的一个法向量为,平面的一个法向量为
2. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C垂直地面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB垂直BC,O为AB的中点。
解:如图,过A1作AD垂直于AC交AC于D,
连接BD,以DC为Y轴,DB为X轴,
DA1为Z轴建立空间坐标系
∵侧面AA1C1C垂直地面ABC,
AA1=A1C=AC=2,AB=BC,
且AB垂直BC
∴ABC为等腰RtΔ
设N(X,Y,Z)为平面A1AB的法向量
∴AA1=(0,1,√3)A1B=(1,0,√3)
即有:{Y+,√3Z=0
X-,√3Z=0
解得:N=(√3,-,√3,1)
∵OE∥平面A1AB
∴法向量N⊥OE
设E为(a,b,c)
∴OE=(a-1/2,y+1/2,c)
OE*N=0且由相似Δ得:
Z+√3X-√3Y-√3=0
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大概思路就这样,这种太复杂了,还要用相似Δ,我没耐心啦,花了我两个多小时……
有没有更简洁的,有了请好我分享,谢谢!
3. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC的中点,AC1垂直平面A1BD,B1C1垂直面ABB1A1
AC1垂直平面A1BD,
所以AC1⊥BD
B1C1垂直面ABB1A1
B1C1⊥A1B1,可得AB⊥BC
又因为,AB=BC
所以三角形ABC为等腰直角三角形
D为斜边AC中点
所以BD⊥AC,又因为AC1⊥BD
所以BD⊥面A1ACC1
即BD⊥三角形A1C1D
V三棱锥B-A1C1D=1/3*BD*S△A1C1D
BD=√2*AB=√2
S△A1C1D=1/2*A1C1*AA1=1/2*√2*1=√2/2
V三棱锥B-A1C1D=1/3*√2*√2/2
=1/3
4. 三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,角BAA1=60°若平面ABC垂直平面AA1B1B,AB=CB,
解:
取A1B1为x轴,A1B1中点为原点0,0C1为Z轴,过点O平行于AA1的直线为y轴,设AB=2a,根据已知条件可知
AB=AC=BC=2a 因为角BAA1=60°所以y轴过点B,则C1(0,0,√3a),B1(-a,0,0),C(a,-√3a,√3a),A1(a,0,0)
向量A1C=(0,-√3a,√3a),向量C1C=(a,-√3a,√3a),向量C1B1=(-a,0,-√3a),求出平面BB1C1C的法向量
n=(√3,0,-1),向量A1C=(0,-√3a,√3a)与向量n的夹角余弦=向量A1C=√2/4,即直线A1C与平面BB1C1C所成的角正弦值是√2/4
5. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1垂直于BC1,AB=CC1=1,BC=2
连接A1B,
因为AB=CC1,三棱柱为直三棱柱,所以AA1垂直于A1C1(直棱柱侧棱垂直于底面)
且ABB1A1为正方形,则A1B垂直于AB1(正方形对角线),
又因为AB1垂直于BC1,A1B垂直于AB1,A1B交BC1于B点,所以AB1垂直于平面A1BC1(第一次线面垂直),则AB1垂直于A1C1,
由AB1垂直于A1C1(第一次线面垂直的结论),AA1垂直于A1C1,AB1交AA1于A点,得A1C1垂直于平面ABB1A1(第二次线面垂直),
所以AC1垂直于AB
6. 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直平面ABC,AB=BC
(1)三垂线定理证明
(2)60°;因为C1C垂直于平面ABC所求角即角C1AC,又C1C=2√3,AC=2,所以角为60°
7. 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB垂直AC,AB=AC=AA1=2,E是BC的中点。(1
解:(1) 因为是直三棱柱 所以 AA1垂直于面ABC所以 AC垂直于AA1 AC还垂直于AB 所以 AC垂直于面AA1BB1 所以四棱锥体积就为 1/3 X2X2X2
(2) 做B1C1中点为E1 连接A1E1 E1C 因为是直三棱柱 所以 A1E1平行于AE 所以求A1E1与直线A1C的夹角即可 以为三角形A1B1C1为直角三角形角B1A1C1为直角 所以 A1E1垂直于B1C1 又因为 BB1垂直于面A1B1C1 所以 A1E1垂直于直线B1B 所以 A1E1垂直于面 BB1CC1 所以 A1E1垂直于E1C 所以 三角形A1E1C为直角三角形 切角A1E1C为直角 所以cos角E1A1C就为A1E1除以A1C A1E1为根号下2 A1C为 2倍的根号下2 求出角E1A1C为60° 所以AE与A1C的夹角为60°
8. 如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,ac垂直bc,ab垂直bb1,ac=bc=bb1=2,d为a
(1)∵D是AB中点,AC=BC,∴CD⊥AB
∵CD⊥A1D,A1D∩AB=D,∴CD⊥面AA1B1B
∴面AA1B1B⊥面ABC
∵BB1⊥AB,∴BB1⊥面ABC
(2)连接AC1,和A1C交於M,连接DM,则DM是△ABC1的中位线
∴DM∥BC1
∵DM包含於面A1CD,∴BC1∥面A1CD
(3)∵CD⊥面AA1B1B,∴CD是三棱锥C-A1B1D的高
易证CD=√2,A1B1=2√2
S△A1B1D=1/2*AA1*A1B1=2√2
∴V=1/3*CD*S△A1B1D=4/3